Re: [AG-GOuFP] Fundamentalsatz der Saldenmechanik

[Arne Pfeilsticker <Arne.Pfeilsticker AT piratenpartei-hessen.de>]

Hallo Thomas,

der Fundamentalsatz scheint mir schon ein wichtiger Baustein in der Saldenmechanik zu sein. Ich würde ihn sogar als die entscheidende Idee bezeichnen.

Er nimmt Abstand von der in der klassischen Ökonomie oft vollzogenen Schlussfolgerung, dass wenn eine Aussage für jeden bzw. jeden Teil einer Gruppe gilt, dass er dann auch für die Gruppe als Ganzes gelten müsse.

Im Verständnis seines Satzes muss man m.E. verstehen, dass er unter Element einer Menge M nicht nur die einzelnen Elemente dieser Menge versteht, sonder auch alle echten Teilmengen und die gesamte Menge M (= Globalmenge = uneigentliche Teilmenge) selbst. Dieser Elemente- und Mengenbegriff definiert er auf Seite 12 und 13. Diese Sichtweise entspricht m.E. den Gepflogenheiten seiner Zeit.

Am 13.02.2015 um 16:51 schrieb Thomas Weiß <Weiss-Tom AT gmx.de>:

Ich bin skeptisch, ob wir hier etwas nützliches rausziehen können, aber ich probiers. Ich hab das Gefühl, Stützel ist hier nicht so formal korrekt, wie du ihn analysieren willst :-)
Hier meine Version, mit etwas mehr Text:

Ich bin schon verwirrt mit den ersten beiden Halbsätzen. Zuanfangs hatte ich sie so interpretiert:
    (1a) Die Menge M ist definiert dadurch, dass für ihre Elemente das Urteil U gilt.
Dann macht aber der Rest nur mit Mühe Sinn. Vielleicht meint er eher:
    (1b) Wir definieren eine Teilmenge von M, und zwar genau aus den Elementen von M, für die U gilt.

1a und 1b sind im Widerspruch zu seiner Formulierung: 

Setzt die Gültigkeit des Urteils U, durch die die Elemente der Menge M definiert sind, voraus, dass außer den darin vorkommenden Elementen, „für" die das Urteil gilt, selbst noch mindestens ein anderes Element derselben Menge existiert,

In heutiger Sprechweise würde man m.E. nicht von Urteil, sondern von Aussage bzw. Eigenschaft reden.

Ich gehe im folgenden von (1b) aus. Als nächstes ist unklar, ob er mit U
    (2a) diese Teilmenge meint oder lediglich
    (2b) die logische Aussage, die die Teilmenge definiert. (was mir aus dem Sprachgebrauch naheliegender erscheint)

U ist eine Aussage bzw. Eigenschaft nach der die Elemente der Menge M in zwei Gruppen eingeteilt werden. Für die 1. Gruppe gilt die Aussage U und für die 2. Gruppe gilt die Aussage nicht U.

Beispiel: Man hat eine beliebige Gruppe Menschen, die dann anhand des Geschlechts in Frauen  und nicht Frauen eingeteilt werden.

Im Fall (2a) wäre meine Übersetzung:
Sei U eine Teilmenge von M. Falls nun die Existenz eines x aus U impliziert, dass auch ein Element y aus M\U (M ohne die Elemente von U) existiert, folgt daraus, dass U eine echte Teilmenge von M ist, d.h. U ungleich M.

[In diesem Sinne ist sein Fundamentalsatz übrigens falsch, falls M die leere Menge ist. Der Fall ist aber vielleicht auch nicht so relevant :-)]

Im Fall (2b):
U ist nun eine Aussage, die von dem betrachteten Element abhängt, d.h. wir müssen U(x) schreiben, wobei x ein Element von M ist. Ich interpretiere ihn so, dass er die Definition von U auf alle Teilmengen von M ausdehnt (kann man aus dem letzten Halbsatz ablesen), d.h. für eine Teilmenge A von M, sei U(A) wahr genau dann, wenn U(x) wahr ist für alle x in A.
Nun definiert er eine Teilmenge N der Potenzmenge von M, P(M), (Die Elemente von N sind also Teilmengen von M), die genau dadurch definiert ist, dass für alle A in N das Urteil U(A) gilt.
Falls nun die Existenz eines x aus N impliziert, dass es auch ein y aus P(M)\N gibt, so muss jedes Element aus N eine echte Teilmenge von M sein, d.h. M liegt nicht in N.

Hier geht er etwas lax mit der Unterscheidung Menge und Potenzmenge um. Deshalb führt seine Bemerkung (In.a.W) de facto auf die Russelsche Antinomie. In dem Sinne wie ich es beschrieben hat, vermeidet man den Widerspruch der Menge, die sich selbst enthält.

Meine Übersetzung in einfaches Deutsch ist anders:
    Sei U eine Eigenschaft derart, dass sie für eine Gruppe nur gelten kann, wenn es noch mindestens ein Element außerhalb der Gruppe gibt, so kann die Eigenschaft U nicht für die Gesamtheit gelten.

Die Formulierung „ein Element außerhalb der Gruppe“ ist im Widerspruch zu seiner Formulierung: ein anderes Element derselben Menge existiert (für die U nicht gilt)

Mit Bezug auf Partialsätze und Globalsätze:
    Für eine derartige Eigenschaft U ist der Globalsatz die Negation des Partialsatzes.

An sich ist diese Aussage aber trivial.

Warum zieht sich dann das Ignorieren dieser „Trivialität" wie ein Roter Faden durch die klassische Ökonomie.

Jeder versteht sie, wenn man sie nicht mathematisch-formal aufbläst.

Außer der Bundesregierung, die meint, dass alle Staaten Leistungsbilanzüberschüsse haben könnten und sollten. :=)

viele Grüße

Arne

Am 13.02.2015 um 15:20 schrieb Arne Pfeilsticker:

Hallo Thomas,
um den Fundamentalsatz der Saldenmechanik besser zu verstehen habe ich ihn in die Sprache der Mathematik übersetzt.

Laut Stüzel lautet der Fundamentalsatz:
Setzt die Gültigkeit des Urteils U, durch die die Elemente der Menge M definiert sind, voraus, dass außer den darin vorkommenden Elementen, „für" die das Urteil gilt, selbst noch mindestens ein anderes Element derselben Menge existiert, dann gilt das Urteil höchstens für jede beliebige echteTeilmenge;
(In.a.W.:dann gehört die Menge solcher Elemente sich selbst nicht an). 

Meine Übersetzung lautet:

<Mail-Anhang.png>

oder

<Mail-Anhang.png>

Eine Rückübersetzung in einfaches Deutsch lautet:

Wenn eine Aussage (Urteil) für beliebige Teile einer Gruppe (Menge) gilt, dann kann man nicht daraus schließen, dass diese Aussage auch für die Gruppe als Ganzes gilt.

Oder mit Bezug auf Partialsätze und Globalsätze:

Ein Partialsatz ist nicht zwangsläufig auch ein Globalsatz.

Was hältst du von meiner Übersetzung?

Viele Grüße

Arne