Re: [AG-GOuFP] Fundamentalsatz der Saldenmechanik

[Thomas Weiß <Weiss-Tom AT gmx.de>]

Ich bin skeptisch, ob wir hier etwas nützliches rausziehen können, aber ich probiers. Ich hab das Gefühl, Stützel ist hier nicht so formal korrekt, wie du ihn analysieren willst :-)
Hier meine Version, mit etwas mehr Text:

Ich bin schon verwirrt mit den ersten beiden Halbsätzen. Zuanfangs hatte ich sie so interpretiert:
    (1a) Die Menge M ist definiert dadurch, dass für ihre Elemente das Urteil U gilt.
Dann macht aber der Rest nur mit Mühe Sinn. Vielleicht meint er eher:
    (1b) Wir definieren eine Teilmenge von M, und zwar genau aus den Elementen von M, für die U gilt.

Ich gehe im folgenden von (1b) aus. Als nächstes ist unklar, ob er mit U
    (2a) diese Teilmenge meint oder lediglich
    (2b) die logische Aussage, die die Teilmenge definiert. (was mir aus dem Sprachgebrauch naheliegender erscheint)

Im Fall (2a) wäre meine Übersetzung:
Sei U eine Teilmenge von M. Falls nun die Existenz eines x aus U impliziert, dass auch ein Element y aus M\U (M ohne die Elemente von U) existiert, folgt daraus, dass U eine echte Teilmenge von M ist, d.h. U ungleich M.
[In diesem Sinne ist sein Fundamentalsatz übrigens falsch, falls M die leere Menge ist. Der Fall ist aber vielleicht auch nicht so relevant :-)]

Im Fall (2b):
U ist nun eine Aussage, die von dem betrachteten Element abhängt, d.h. wir müssen U(x) schreiben, wobei x ein Element von M ist. Ich interpretiere ihn so, dass er die Definition von U auf alle Teilmengen von M ausdehnt (kann man aus dem letzten Halbsatz ablesen), d.h. für eine Teilmenge A von M, sei U(A) wahr genau dann, wenn U(x) wahr ist für alle x in A.
Nun definiert er eine Teilmenge N der Potenzmenge von M, P(M), (Die Elemente von N sind also Teilmengen von M), die genau dadurch definiert ist, dass für alle A in N das Urteil U(A) gilt.
Falls nun die Existenz eines x aus N impliziert, dass es auch ein y aus P(M)\N gibt, so muss jedes Element aus N eine echte Teilmenge von M sein, d.h. M liegt nicht in N.

Hier geht er etwas lax mit der Unterscheidung Menge und Potenzmenge um. Deshalb führt seine Bemerkung (In.a.W) de facto auf die Russelsche Antinomie. In dem Sinne wie ich es beschrieben hat, vermeidet man den Widerspruch der Menge, die sich selbst enthält.

Meine Übersetzung in einfaches Deutsch ist anders:
    Sei U eine Eigenschaft derart, dass sie für eine Gruppe nur gelten kann, wenn es noch mindestens ein Element außerhalb der Gruppe gibt, so kann die Eigenschaft U nicht für die Gesamtheit gelten.

Mit Bezug auf Partialsätze und Globalsätze:
    Für eine derartige Eigenschaft U ist der Globalsatz die Negation des Partialsatzes.

An sich ist diese Aussage aber trivial. Jeder versteht sie, wenn man sie nicht mathematisch-formal aufbläst.

Am 13.02.2015 um 15:20 schrieb Arne Pfeilsticker:

Hallo Thomas,
um den Fundamentalsatz der Saldenmechanik besser zu verstehen habe ich ihn in die Sprache der Mathematik übersetzt.

Laut Stüzel lautet der Fundamentalsatz:
Setzt die Gültigkeit des Urteils U, durch die die Elemente der Menge M definiert sind, voraus, dass außer den darin vorkommenden Elementen, „für" die das Urteil gilt, selbst noch mindestens ein anderes Element derselben Menge existiert, dann gilt das Urteil höchstens für jede beliebige echteTeilmenge;
(In.a.W.:dann gehört die Menge solcher Elemente sich selbst nicht an). 

Meine Übersetzung lautet:

oder

Eine Rückübersetzung in einfaches Deutsch lautet:

Wenn eine Aussage (Urteil) für beliebige Teile einer Gruppe (Menge) gilt, dann kann man nicht daraus schließen, dass diese Aussage auch für die Gruppe als Ganzes gilt.

Oder mit Bezug auf Partialsätze und Globalsätze:

Ein Partialsatz ist nicht zwangsläufig auch ein Globalsatz.

Was hältst du von meiner Übersetzung?

Viele Grüße

Arne

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